Главная Геометрия на плоскости Свойства углов. Свойства параллельных прямых.


Свойства углов. Свойства параллельных прямых.

     Откроем новый раздел "Геометрия на плоскости" простой статьей посвященной свойствам углов и свойствам параллельных прямых. Перечислим основные свойства вертикальных, односторонних и накрест лежащих углов, некоторые из свойств докажем. Рассмотрим свойства параллельных прямых.

 

 

Свойства углов

     Свойство углов 1: Смежные углы в сумме составляют 180 градусов.
Справедливость этого свойства следует из того факта, что смежные углы в сумме составляют развернутый угол.

     Свойство углов 2 : Вертикальные углы равны.

     Доказательство:
 Свойства о равенстве вертикальных углов

Для лучшего понимания доказательства нарисуем неболшой рисунок, состоящий из двух пересекающихся прямых и двух пар вертикальных углов. Данный рисунок находится немного левее. Рассмотрим, например, вертикальные углы 1 и 3. Тогда угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3 и, значит, в соответствии со свойством 1.1, как угол 1, так и угол 3 дополняют угол 2 до 180 градусов, а это и означает, что угол 1 равен углу 3. Тем самым мы доказали Свойство углов 2.

 

     Свойство углов 3: Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей прямой углы одной из пар соответственных или накрест лежащих углов равны, то равными будут и углы в каждой из остальных пар соответственных и накрест лежащих углов.

     Доказательство:

Свойство накрест лежащих угловПусть при пересечении прямых a и b третьей прямой с(смотри рисунок) равны, например, соответственно угол 1 и угол 5.

Тогда так как угол 1 и угол 3, угол 5 и угол 7 являются вертикальными углами, а значит они равны между собой, то равными будут соответственные угол 3 и угол 7, накрест лежащие угол 3 и угол 5.

Равные внутренние накрест лежащие угол 3 и угол 5 являются соответственно смежными внутренними накрест лежащим угол 4 и угол 6, откуда следует, что угол 4 и угол 6 будут равными. Но тогда будут равными и угол 2 и угол 6, угол 4 и угол 8.

С другой стороны, угол 1 = угол 7, а угол 2 =  угол 8.

Аналогичные рассуждения проводятся и в случае, когда при пересечении двух прямых третьей прямой равными оказываются какие-нибудь другие накрест лежащие углы. Свойство углов 3 доказано.

     Свойство 4: Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей прямой углы одной из пар соответственных или накрест лежащих углов равны, то сумма углов каждой пары односторонних углов равна 180 градусов.

     Свойства параллельных прямых

     Свойство параллельных прямых 1: Если две параллельные прямые пересечены какой-нибудь третьей прямой, то:

  1. соответственные углы равны
  2. накрест лежащие углы равны
  3. сумма любой пары односторонних углов равна 180 градусов.

     Свойство параллельных прямых 2: Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме состовляют 180 градусов.

     Свойство параллельных прямых 3: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны к сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме состовляют 180 градусов.


     Из этой статьи Вы узнали:

  • четыре основных свойства углов
  • три основных свойства параллельных прямых