Производная функции. Физический и геометрический смысл производной. Правила дифференцирования

Главное меню

Математические статьи

Заказывали ли Вы контрольные раньше?

	Да, и буду впредь
	Нет, но собираюсь
	Нет и не буду

Присоединяйтесь

Производная функции. Физический и геометрический смысл производной. Правила дифференцирования

Производная функции одно из основных и основополагающих понятий математического анализа. Также данной понятие употребляется в физике для описания траекторий и скоростей движения тел и других точных науках. Мы рассмотрим основные понятия и теоремы связанные с производной функции, также обсудим геометрический и физический смысл производной функции, приведем перечень правил, которые нужно соблюдать при взятии производной функции одной переменной, сложной функции и обратной функции. Также упомянем легкие построения касательной и нормали к кривой функции, используя производную данной функции.

1. Определение производной функции.
Необходимое условие существования производной

Пусть функция $y=f(x)$ определена в точке $x_{0}$ и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу $x_{0}$ приращение $\triangle x$ такое, что точка $x_{0}+ \triangle x$ попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение $\triangle f(x_{0}) = f(x_{0}+ \triangle x) - f(x_{0})$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента $\triangle x$ , при $\triangle x \to 0$ (если этот предел существует и конечен), т.е.

$\lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x) - f(x_{0})}{\triangle x}$ .

Обозначают: ${f}'(x_{0}) , \frac{\mathrm{d} f(x_{0})}{\mathrm{d} x} , {y}'(x_{0}) , \frac{\mathrm{d} y(x_{0})}{\mathrm{d} x}$ .

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$ справа (слева) называется

$\lim_{\triangle x \to +0}\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x} (\lim_{\triangle x \to -0}\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x})$

(если этот предел существует и конечен).

Обозначают: $f_{+}^{'}(x_{0}), y_{+}^{'}(x_{0})$ – производная y=f(x) в точке $x_{0}$ справа,

$f_{-}^{'}(x_{0}), y_{-}^{'}(x_{0})$ – производная y=f(x) в точке $x_{0}$ слева.

Очевидно, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1: Функция y=f(x) имеет производную в точке $x_{0}$ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем

$f_{-}^{'}(x_{0}) = f_{+}^{'}(x_{0}) = f^{'}(x_{0})$ .

Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке $x_{0}$ и непрерывностью функции в этой точке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке $x_{0}$ , то функция f(x) в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует ${f}'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x}$ . Тогда

$\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) + \alpha(\triangle x)$ ,

где $\alpha(\triangle x)$ – бесконечно малая при $\triangle x \to 0$ .

⇒ $\triangle f(x_{0}) = f^{'}(x_{0})\triangle x + \alpha(\triangle x)\triangle x$ ;

⇒ $\lim_{\triangle x \to 0}\triangle f(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0}[ f^{'}(x_{0})\triangle x + \alpha(\triangle x)\triangle x] = f^{'}(x_{0})\triangle x + \lim_{\triangle x \to 0}(\alpha(\triangle x)\triangle x) = 0 + 0 = 0$

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке $x_{0}$ (по геометрическому определению непрерывности). ∎

Замечание. Непрерывность функции в точке $x_{0}$ не является достаточным условием существования производной этой функции в точке $x_{0}$ . Например, функция y = |x| непрерывна, но не имеет производной в точке $x_{0}$ .

Очевидно, что соответствие $x_{0} \to f^{'}(x_{0})$ является функцией, определенной на некотором множестве $D_{1} \subseteq D(f)$ . Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают

$f^{'}(x), \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}, y_{'}, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ .

Операцию нахождения для функции f(x) ее производной функции называют дифференцированием функции y = f(x).

2. Физический и геометрический смысл производной

1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная $f^{'}(x_{0})$ – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке $x_{0}$ . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная $S^{'}(t_{0})$ – скорость в момент времени $t_{0}$ . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то $q^{'}(t_{0})$ – скорость изменения количества электричества в момент времени $t_{0}$ , т.е. сила тока в момент времени $t_{0}$ .

2) Геометрический смысл производной.

Пусть $l$ – некоторая кривая, $M_{0}$ – точка на кривой $l$ .

Любая прямая, пересекающая $l$ не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой $l$ в точке $M_{0}$ называется предельное положение секущей $M_{0}M_{1}$ , если точка $M_{1}$ стремится к $M_{0}$ , двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке $M_{0}$ существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ он имеет невертикальную касательную $M_{0}N$ . Ее уравнение: $y-f(x_{0})=k(x-x_{0})$ (уравнение прямой, проходящей через точку $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ и имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента $k = tg\beta$ , где $\beta$ – угол наклона прямой $M_{0}N$ к оси $Ox$ .

Пусть $\alpha$ – угол наклона секущей $M_{0}M_{1}$ к оси $Ox$ , где $M_{1}(x_{0}+\triangle x; f(x_{0}+\triangle x))$ . Так как $M_{0}N$ – касательная, то при $\triangle x \to 0$

$M_{0}M_{1} \to M_{0}N$ ⇒ $\alpha \to \beta$ ⇒ $tg\alpha \to tg\beta$ .

Следовательно,

$tg\beta = \lim_{\triangle x \to 0}tg\alpha = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle y(x_{0})}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_{0} +\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = f^{'}(x_{0})$ .

Таким образом, получили, что $f^{'}(x_{0})$ – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ можно записать в виде

$y - f(x_{0}) = f^{'}(x_{0})(x - x_{0})$

Замечание. Прямая, проходящая через точку $M_{0}$ перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке $M_{0}$ , называется нормалью к кривой в точке $M_{0}$ . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением $k_{1}k_{2} = - 1$ , то уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ будет иметь вид

$y - f(x_{0})= - \frac{1}{f^{'}(x_{0})}(x - x_{0})$ , если $f^{'}(x_{0})\neq 0$ .

Если же $f^{'}(x_{0})=0$ , то касательная к кривой y = f(x) в точке $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ будет иметь вид $y =f(x_{0})$ , а нормаль $x = x_{0}$ .

3. Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е $C^{'} = 0$ , где C – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е $(u\pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ . .

3) Производная произведения находится по правилу: $(uv)^{'} = u^{'}v + uv^{'}$ .

4) $(Cu)^{'} = Cu^{'}$ , где $C$ - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'}v - uv^{'}}{v^{2}} , (v(x)\neq 0)$ .

6) Если функция $\varphi (t)$ имеет производную в точке $t$ , а функция $f(u)$ имеет производную в точке $u=\varphi (t)$ , то сложная функция $y=f(\varphi (t))$ имеет производную в точке $t$ , причем $y^{'} = f^{'}(u)u^{'}$ (правило дифференцирования сложной функции).

7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке $x_{0}$ , причем $f^{'}(x_{0})\neq 0$ . Если существует обратная функция $x=\varphi (y)$ , то она имеет производную в точке $y_{0}=f(x_{0})$ и $\varphi^{'} (y_{0})=\frac{1}{f^{'}(x_{0})}$ (производная обратной функции).

Из этой статьи Вы узнали следующее:

понятия: производная функции, производная сложной функции, производная обратной функции, производная функции справа(слева).
физический и геометрический смысл производной
построение касательной и нормали к кривой, используя производную.

Рекомендуем прочитать