Главная Математика в других науках Скалярное и векторное поля. Градиент функции. Дивергенция и ротор векторного поля
Скалярное и векторное поля. Градиент функции. Дивергенция и ротор векторного поля

  Рассмотрим статью тесно пересекающуюся с физикой: скалярное поле, векторное поле. В ней мы также приведем основные операторы теории поля: градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля. Немного расскажем об операторе Гамильтона. Для лучшего восприятия и понимания данной статьи советуем сначала ознакомиться со следующими статьями: Производная функции, Практическое использование понятия: производная функции.

Скалярное поле, векторное поле

     Определение 1: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).

Примерами скалярных полей являются: поле температуры T внутри тела, поле потенциала\varphi электрического заряда, поле плотности тела и т.д.

     Определение 2: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор

\vec{a(M)}=P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}

то говорят , что в области V  задано векторное поле \vec{a}=\vec{a(M)}=\vec{a(x,y,z)}.

Примерами векторных полей являются: поле скоростей \vec{v} текущей жидкости, поле электрической напряженности \vec{E} , поле магнитной напряженности \vec{R} и т.д.

Градиент скалярного поля. Дивергенция и ротор векторного поля

 Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент (grad) скалярного поля, дивергенция(div) и ротор(rot) векторного поля.

     Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор

grad u = \frac{\partial u}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{k}

Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора. О производных функии мы писали в предыдущих статьях: Производная функции, Практическое использование понятия: производная функции.

     Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля \vec{a(M)}=(P,Q,R) называется скаляр

div\vec{a}=\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

     Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля\vec{a(M)}=(P,Q,R)  называется вектор

rot\vec{a}=(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i}+ (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})\vec{j} + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\vec{k}

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

rot\vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

Операторы grad, div,rot называются основными операторами теории поля.

В качестве примеров использования операторов градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля приведем формулу связи напряженности \vec{E} и потенциала \phiэлектростатического поля:\vec{E} = - grad\phi и систему уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля:

1) rot\vec{E}=0

2) div\vec{D}=\rho

3) rot\vec{H}=\vec{j}

4) div\vec{B}=0

В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами широко используется символический векторный дифференциальный оператор набла (оператор Гамильтона)

\triangledown = \frac{\partial }{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial }{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial }{\partial z}\vec{k}

. Правила работы с оператором Гамильтона такие же, как и с обычными векторами. Выразим операторы поля через оператор Гамильтона. Вычисляя произведение вектора \triangledown на скалярную функцию u, скалярное и векторное произведения вектора\triangledown на вектор \vec{a}, получим формулы

grad u = \triangledown u , div\vec{a} = \triangledown *\vec{a} , rot\vec{a} = [\triangledown, \vec{a}]

 

     Из этой статьи Вы узнали:

  • что такое скалярное поле и что такое векторное поле
  • основные операторы теории поля: градиент скалярного поля, дивергенция, ротор векторного поля
  • оператор Гамильтона
Рекомендуем прочитать