Дискретные и непрерывные случайные величины. Функции распределения случайных величин.

Главное меню

Математические статьи

Заказывали ли Вы контрольные раньше?

	Да, и буду впредь
	Нет, но собираюсь
	Нет и не буду

Присоединяйтесь

Дискретные и непрерывные случайные величины. Функции распределения случайных величин.

Одним из основных в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина - это величина, принимающая те или иные значения в зависимости от случая. Примерами случайных величин могут быть: число выпавших очков, при подбрасывании игральной кости; число попаданий в цель при k выстрелах и т.д. Множества всех случайных величин в зависимости от типа их распределения делится на три класса: дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины и сингулярные случайные величины. В этой статье мы рассмотрим первые два класса: дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины

Определение1: Случайная величина $\xi$ называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде:

$\xi : x_{1},x_{2}, . . . , x_{n}, . . .$

$P : p_{1},p_{2}, . . . , p_{n}, . . .$

где $p_{n}=P(\xi = x_{n}) , \sum_{n}p_{n}=1$

Следующее утверждение отражает связь между функцией распределения дискретной случайной величины и законом распределения случайной величины.

Утверждение 1: Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины взаимно однозначно определяют друг друга.

Примеры дискретных случайных величин:

1) дискретная случайная величина Бернулли(закон распределения Бернулли). Закон распределения дискретной случайной величины Бернулли имеет следующий вид: 0<p<1

$\xi : 0 , 1 .$

$P : 1-p , p$

Такому распределению соответствует бросание монеты, на одной стороне которой - 0, а на второй - 1.

2) дискретная биномиальная случайная величина(биномиальное распределение). Закон распределения данной дискретной случайной величины запишется следующим образом:

$\xi : 0, 1, . . . , k, . . . n$

$P : P_{n}(0),P_{n}(1), . . . , P_{n}(k), . . . P_{n}(n)$

где $P_{n}(k) = C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k} , 0<p<1 , q=1-p.$

Число успехов в n испытаниях схемы Бернулли имеет биномиальное распределение.

3) дискретная случайная величина Пуассона(пуассоновское распределение с параметром $\lambda$ ). Закон распределения дискретной случайной величины Пуассона задается следующим образом:

$P(\xi =k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} , k=0,1,2,3,...$

где $\lambda > 0$ - параметр.

Закон распределения случайной величины Пуассона носит название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит "редкое" событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию, число распавшихся нестабильных частиц и т.д.

4) дискретная геометрическая случайная величина (геометрическое распределение). Закон распределения геометрической дискретной случайной величины имеет вид

$P(\xi =k) = p(1 - p)^{k} , 0<p<1 , k=0,1,2,...$

Пусть производятся независимые испытания, причем в каждом испытании возможны два исхода - "успех" с вероятностью p или "неуспех" с вероятностью 1 - p , 0 < p < 1 . Обозначим через $\xi$ число испытаний до первого появления "успеха", тогда $\xi$ будет дискретной геометрической случайной величиной.

Непрерывные случайные величины

Определение 2: Распределение случайной величины $\xi$ называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого $B\epsilon B(R)$

$P_{\xi }(B) = \int_{B}p_{\xi}(x)dx$ ,

где $p_{\xi}(x) , x \epsilon R,$ - интегрируемая по Лебегу функция. Функция $p_{\xi}(x)$ называется плотностью распределения случайной величины $\xi$ .

Теорема 1: Для того чтобы случайная величина $\xi$ была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого $x \epsilon R$

$F_{\xi}(x)=\int_{-\infty}^{x}p_{\xi}(t)dt$ (1)

Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.

Свойства плотности распределения:

1) $\int_{-\infty}^{\infty}p_{\xi}(t)dt = 1$

2) $p_{\xi}(t)\geq 0$ почти всюду.

3) $F_{\xi}^{'}(x) = p_{\xi}(x)$ для любых х, являющихся точками непрерывности плотности.

Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины $\xi$ , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.

Примеры непрерывных случайных величин:

1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина $\xi$ имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид

$p_{\xi}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt[]{2\pi}}e^{- \frac{(x-a)^{2}}{2\sigma ^2}} , \sigma >0 , a\epsilon R.$

Если $a=0, \sigma = 1$ , то распределение называется стандартным нормальным распределением.

Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение.

2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение). Непрерывная случайная величина $\xi$ имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром $\lambda (\lambda>0)$ , если её плотность имеет вид

$p_{\xi}(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x<0 & \\ \lambda e^{-\lambda x}, x\geq 0 & \end{matrix}\right.$

Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время $x_{2}$ при условии, что перед этим оно уже прожило время $x_{1}$ , совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время $x_{2}$ . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия.

3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение).

Равномерно распределенная на отрезке [a;b] непрерывная случайная величина $\xi$ имеет плотность распределения

$p_{\xi}(x) = \left\{\begin{matrix} 0, x \not\epsilon[a;b] & \\ 1/(b-a), x\epsilon[a;b]& \end{matrix}\right.$

Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a;b].

В этой статье Вы узнали:

что такое дискретная случайная величина
что такое непрерывная случайная величина
примеры дискретных случайных величин
примеры непрерывных случайных величин